This is a test post to check if MathJax rendering of Latex has been effectively integrated into Blogger.
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The following is a well known point about completion of product measures:
Consider measure spaces $(X,\Sigma_X,\mu)$ and $(Y,\Sigma_Y,\mu)$ where $\mu$ is the Lebesgue measure. For the sake of definiteness, let's set the spaces $X$ and $Y$ as the unit interval $[0,1]$ and the sigma algebras $\Sigma_X$ and $\Sigma_Y$ as the standard sigma algebra of Lebesgue measurable sets on $[0,1]$.
Now we want extend these "coordinate" measures to the product space $X \times Y$. A natural way to do so is to define a product sigma algebra on $X \times Y$ by forming the smallest sigma algebra containing all sets of the form $A \times B$, where $A\in\Sigma_X$ and $B\in\Sigma_Y$ are measurable sets on the $x$ and $y$ coordinate spaces respectively. (For our example, these are just the intervals $X=[0,1]$ and $Y=[0,1]$.)
That is, the product space on which we are defining a product measure is:
$$(X\times Y;\sigma\{A\times B:A\in \Sigma_X, B\in \Sigma_Y\}; \tilde{\mu})$$
For a measurable rectangle $A\times B$,
$$\tilde{\mu}(A\times B)=\mu(A)\mu(B)$$
In the spirit of this product measure space, let's see what happens once we put $A=\{x_0\}$ (just one point). Then of course, our standard construction yields:
$$\tilde{\mu}(A\times B)=\mu(A)\mu(B)=0\cdot \mu(B)$$
for any set $B\in 2^{Y}$, not just in the sigma algebra $\Sigma_Y$.
And here is where all the trouble starts! How so? Well for all sets in the sigma algebra $\Sigma_Y$,
$$\tilde{\mu}(A\times B)=\mu(A)\mu(B)=0\cdot \mu(B)=0$$
but for all sets $B\notin \Sigma_Y$ (and their existence is guaranteed - Vitali sets are an example), the above equation is not well defined! However the set $\{x_0\}\times B\subseteq \{x_0\}\times [0,1]$ and this larger set does have measure 0!
Hence the product measure $\tilde{\mu}$ must be completed as well! We can do this in the standard way: take all null sets with respect to the new measure $\tilde{\mu}$ and construct a new sigma algebra generated by such sets and the old product sigma algebra.
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Yes, it has!
हाल ही में, अपने 'हिंदी बेल्ट' के छह हफ्ते के प्रवास के दौरान इस फिल्म को सिनेमा हॉल में दो दफ़ा देखने के बाद नंगा फ़क़ीर के मन में यह विचार आया कि कहीं ऐसा तो नहीं कि श्याम बेनेगल और गोविन्द निहलानी ने सत्तर और अस्सी के दशकों में बनायी अपनी यथार्थपरक, संजीदा और बेहतरीन फिल्मों को बनाने के बावजूद कहीं कोई गलती तो नहीं कर दी? आर्ट फिल्मों को उबाऊ मान कर लाखों लोगों ने इनकी और देखने की ज़हमत नहीं उठाई; लेकिन उन्हीं बातों को व्यंग्यात्मक तरीके से, एक ज़बरदस्त साउंडट्रैक के माध्यम से औरों तक संप्रेषित करने का बीड़ा जो निर्देशकों की इस नयी फ़ौज (न्यू वेव) ने उठाया है, कहीं वह एक बेहतर विकल्प नहीं था इन जम्हाईपरक, गंभीर बातों को कहने का? (ज़ाहिर है की यह बहुआयामी समस्या और जटिल है: श्याम बेनेगल ने कई बेहतरीन और बेहद मज़ेदार तरीकों से इन बातों को कहने की कोशिश की है, ख़ास तौर से "वेलकम टु सज्जनपुर" और "वेल डन अब्बा" में; और ऐसा नहीं है कि इस न्यू वेव की हर इस कोशिश को दर्शकों के पैसों की पुचकार मिली हो - आखिर "मटरू की बिजली का मंडोला" जैसी धाँसू फिल्म भी 'हिट' फिल्म का लेबल नहीं जीत पाई।)
